INDUCCION MATEMATICA

es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable n\, que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento: El número entero a\, tiene la propiedad P\,.

El hecho de que cualquier número entero n\, también tenga la propiedad P\, implica que n+1\, también la tiene. Entonces todos los números enteros a partir de a\, tienen la propiedad P\,. La demostración está basada en el axioma denominado principio de la inducción matemática.

EJEMPLO Llamemos P_n\, a la proposición, donde n\, es el rango. Base- Se demuestra que P_1\, es cierta, esto es el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción). Paso inductivo- Se demuestra que si P_n\, es cierta, esto es, como hipótesis inductiva, entonces P_{n+1}\, lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n\, (relación de inducción. Indicado como n \Rightarrow n + 1).
Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que P_n\, es cierto para todo natural n\,. La inducción puede empezar por otro término que no sea P_1\,, digamos por P_{n_0}\,. Entonces P_n\, será válido a partir del número n_0\,, es decir, para todo natural n \ge n_0\,.

 Ejemplo:

Se probará que la siguiente declaración P ( n ), que se supone válida para todos los números naturales n . 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\,. P ( n ) da una fórmula para la suma de los números naturales menores o igual a n . La prueba de que P ( n ) es verdadera para todos los números naturales procede como sigue.

 Base: Se muestra que es válida para n = 1. con P(1) se tiene: 1 = \frac{1\cdot(1 + 1)}{2}\,. En el lado izquierdo de la ecuación, el único término es 1, entonces su valor es 1. mientras que el término derecho, 1·(1 + 1)/2 = 1. Ambos lados son iguales, n = 1.

Entonces P(1) es verdadera. Paso inductivo: Mostrar que si P(k) es verdadera, entonces P(k + 1) es verdadera.

 Como sigue: Se asume que P(k) es verdadera (para un valor no específico de k). Se debe entonces mostrar que P(k + 1) es verdadera: (1 + 2 + \cdots + k )+ (k+1) = \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}. usando la hipótesis de inducción P(k) es verdadera, el término izquierdo se puede reescribir: \frac{k(k + 1)}{2} + (k+1)\,. Desarrollando: \begin{align} \frac{k(k + 1)}{2} + (k+1) & = \frac {k(k+1)+2(k+1)} 2 \\ & = \frac{k^2+k+2k+2}{2} \\ & = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \\ & = \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2} \end{align} mostrando de hecho que P(k + 1) es verdadera.

 Puesto que se han realizado los dos pasos de la inducción matemática tanto la base como el paso inductivo, la declaración P ( n ) se cumple para todo número natural n Q.E.D.